Nato a Zlin in Cecoslovacchia, con il nome di Tomáš Straussler da una famiglia ebrea.
A causa delle persecuzioni naziste si trasferì con i genitori a Singapore, poi in India per sfuggire l'invasione giapponese; qui ricevette un'educazione britannica.
Suo padre morì durante questo esodo e la madre si risposò con il maggiore britannico Kenneth Stoppard da cui prese il cognome.
Solo nel 1946 la famiglia Stoppard giunse in Inghilterra; qui il giovane Tom lasciò il collegio a 17 anni e incominciò la carriera di periodista. Nel 1960 completò la sua prima opera Un passo nell'acqua (A Walk on the Water), che fu posteriormente prodotta col titolo Enter a Free Man. Tra il settembre del 1962 e l'aprile del 1963 Stoppard lavorò a Londra come critico teatrale per la rivista Scene, utilizzando in alcuni casi anche lo pseudonimo di William Boot. Nel 1967 scrisse Rosencrantz e Guildenstern sono morti, dramma tragicomico messo in scena al National Theatre, poi divenuto un film nel 1990 (premiato con il Leone d'Oro a Venezia), del quale lo stesso Stoppard fu regista.
Nel 1977 Stoppard incominciò ad interessarsi al problema dei diritti umani, in particolare per la situazione politica dei dissidenti in Europa orientale e in Unione Sovietica; nello stesso anno andò in Russia come membro di Amnesty International, incontrò Vladimir Bukovsky, e tornò in Cecoslovacchia, sotto regime comunista, dove conobbe Václav Havel, drammaturgo ribelle.Tom Stoppard scrisse molti articoli riguardanti i diritti umani e per differenti cause, come per Index on Censorship (Indice di Censura) e Committee against Psychiatric Abuse (Comitato contro l'abuso psichiatrico). Si è sposato due volte, con Jose Ingle (1965-72) e con Miriam Moore-Robinson, (1972-92) che lasciò per una relazione con l'attrice Felicity Kendal; ha due figli, nati dai precedenti matrimoni, tra cui l'attore Ed Stoppard. Tom Stoppard è diventato celebre con commedie come La cosa reale (The Real Thing) e per la sceneggiatura del film Shakespeare in Love.